Delen
delen = andelen · det hela
- andelen
- procentsatsen skriven i decimalform (25 % = 0,25)
- det hela
- hela mängden, 100 %
Exempel: 25 % av 80 kr = 0,25 · 80 = 20 kr
Tillbaka till ämnen Stevins verkstad → Al-Khwarizmis verkstad → Napiers verkstad → Pythagoras verkstad → Arkimedes verkstad → Descartes verkstad → Pascals verkstad →
Formelblad · Matematik åk 7–9
Formler i matematik
Varje formel med förklaring av alla storheter. Klicka in i verkstaden för att se varför den stämmer.
Procent och ränta
Procent betyder hundradelar. Allt handlar om delen, det hela och andelen.
Andelen
andelen = delen / det hela
Exempel: 12 av 48 = 12 / 48 = 0,25 = 25 %
Det hela
det hela = delen / andelen
Exempel: 30 är 20 % av 30 / 0,2 = 150
Förändringsfaktor
nytt värde = förändringsfaktor · gammalt värde
- förändringsfaktor
- 1 + ökningen eller 1 − minskningen i decimalform
Exempel: Ökning 15 % → 1,15 · Minskning 20 % → 0,80
Upprepad förändring
nytt värde = gammalt värde · faktorⁿ
- n
- antal gånger förändringen sker, t.ex. antal år
Procentenheter
skillnad = p₂ − p₁
Från 20 % till 25 % är 5 procentenheter, men 25 procent högre.
Enkel ränta
ränta = K · r · t
- K
- kapital, beloppet på kontotkr
- r
- räntesats i decimalform
- t
- tidår
Tänkarens minnen – procent och ränta
Tänk alltid «av vad?»
Procent är alltid en andel av något. Fråga dig först: vad är det hela? Då vet du om svaret ska bli större eller mindre än utgångsvärdet.
Förändringsfaktorn avslöjar riktningen
Faktor över 1 betyder ökning, under 1 betyder minskning. Räkna först ut faktorn och kontrollera att den «känns» rätt innan du multiplicerar.
Procentenheter är inte procent
Att räntan går från 2 % till 4 % är en ökning med 2 procentenheter – men en fördubbling, alltså 100 % högre. Håll isär begreppen på provet.
Minnesknep: 10 %-trappan
Hitta 10 % först (flytta decimaltecknet ett steg). Sedan bygger du resten: 5 % är hälften av 10 %, 20 % är dubbelt, 1 % är en tiondel av 10 %.
Algebra och ekvationer
Bokstäver står för tal. Samma regler som för tal gäller.
Distributiva lagen
a(b + c) = ab + ac
Kvadreringsregeln (+)
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Kvadreringsregeln (−)
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Konjugatregeln
(a + b)(a − b) = a² − b²
Lösa ekvationer
gör samma sak på båda sidor
Addera, subtrahera, multiplicera eller dividera båda leden tills x står ensamt.
Exempel: 3x + 4 = 19 → 3x = 15 → x = 5
pq-formeln
x = −p/2 ± √((p/2)² − q)
- p, q
- talen i ekvationen x² + px + q = 0
Gymnasiets förkunskap – bra att känna igen.
Tänkarens minnen – algebra och ekvationer
Balansprincipen
En ekvation är en våg i jämvikt. Vad du än gör på ena sidan måste du göra på den andra – annars tippar vågen och likheten går sönder.
Målet: x ensamt
Jobba baklänges mot räkneordningen: gör dig av med addition och subtraktion först, multiplikation och division sist.
Pröva alltid svaret
Sätt in ditt x i urspringsekvationen. Stämmer båda sidorna är du säker – det är den billigaste felsökningen som finns.
Minnesknep: konjugatet
(a + b)(a − b) ger alltid a² − b²: mittentermerna tar ut varandra. Känn igen mönstret «samma tal, olika tecken» så sparar du tid.
Potenser och rötter
En potens är upprepad multiplikation: aⁿ = a · a · … · a (n gånger).
Multiplikation
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- a
- basen
- m, n
- exponenterna
Division
aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Potens av potens
(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ
Exponenten noll
a⁰ = 1
gäller när a ≠ 0
Negativ exponent
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
Exempel: 2⁻³ = 1/8
Kvadratrot
√a · √a = a
Exempel: √49 = 7 eftersom 7 · 7 = 49
Grundpotensform
a · 10ⁿ, där 1 ≤ a < 10
- n
- heltal – hur många steg decimaltecknet flyttas
Exempel: 4 500 000 = 4,5 · 10⁶
Tänkarens minnen – potenser och rötter
Exponenter räknar gånger, inte gånger gånger
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ fungerar bara när basen är samma. 2³ · 2⁴ = 2⁷, men 2³ · 3⁴ går inte att slå ihop.
Negativ exponent betyder «vänd på bråket»
a⁻ⁿ är inte negativt – det är 1/aⁿ. Tänk: minus i exponenten flyttar potensen ner under bråkstrecket.
Rimlighetskollen för rötter
√a ligger alltid mellan två kända kvadrater. √50 måste ligga mellan 7 och 8 eftersom 49 < 50 < 64.
Minnesknep: tiopotens = flytta kommat
10ⁿ flyttar decimaltecknet n steg åt höger, 10⁻ⁿ åt vänster. Grundpotensform är bara ett snyggt sätt att skriva det.
Geometri – area och omkrets
Area mäts i kvadratenheter (cm²), omkrets i längdenheter (cm).
Rektangel
A = b · h
- b
- basen
- h
- höjden
Triangel
A = b · h / 2
- h
- höjden, vinkelrät mot basen
Parallellogram
A = b · h
Parallelltrapets
A = (a + b) · h / 2
- a, b
- de två parallella sidorna
Cirkelns area
A = π · r²
- r
- radien
- π
- ≈ 3,14
Cirkelns omkrets
O = 2 · π · r = π · d
- d
- diametern = 2r
Pythagoras sats
a² + b² = c²
- a, b
- kateterna, sidorna vid den räta vinkeln
- c
- hypotenusan, längsta sidan
Vinkelsumma
triangel 180° · fyrhörning 360°
Tänkarens minnen – geometri – area och omkrets
Höjden måste vara vinkelrät
I alla areaformler är h den vinkelräta höjden mot basen – inte en sned sida. Rita ut höjden i figuren innan du räknar.
Triangeln är en halv rektangel
Dra en diagonal i en rektangel: du får två lika stora trianglar. Därför är triangelns area b · h / 2. Samma tanke ger parallellogram och trapets.
Enheten avslöjar formeln
Svarar du i cm² ska två längder vara multiplicerade. Får du cm³ har du räknat volym, får du cm har du räknat omkrets. Kontrollera alltid enheten.
Pythagoras gäller bara räta vinklar
a² + b² = c² fungerar enbart i rätvinkliga trianglar, och c är alltid den längsta sidan – hypotenusan, mitt emot den räta vinkeln.
Geometri – volym
Volym mäts i kubikenheter. 1 dm³ = 1 liter.
Rätblock / prisma
V = B · h
- B
- basytans area
- h
- höjden
Cylinder
V = π · r² · h
Pyramid
V = B · h / 3
Kon
V = π · r² · h / 3
Klot
V = 4 · π · r³ / 3
Klotets area
A = 4 · π · r²
Tänkarens minnen – geometri – volym
Basyta · höjd – alltid samma tanke
Alla raka kroppar (prisma, cylinder) följer V = B · h: bottens area gånger höjden. Spetsiga kroppar (pyramid, kon) är exakt en tredjedel av det.
Minnesknep: spetsen tar en tredjedel
En kon rymmer exakt en tredjedel av cylindern med samma botten och höjd. Samma för pyramid mot prisma. «Spetsig = dela på tre».
Volymen växer kubiskt
Fördubblar du alla mått blir volymen 2³ = 8 gånger större. Därför räcker en dubbelt så stor glass strut långt mer än dubbelt.
Litern är en kubikdecimeter
1 dm³ = 1 liter och 1 cm³ = 1 ml. Omvandla måtten till dm innan du räknar om svaret ska bli i liter.
Funktioner och grafer
En funktion ger exakt ett y-värde för varje x-värde.
Räta linjens ekvation
y = kx + m
- k
- lutning – hur mycket y ändras när x ökar med 1
- m
- där linjen skär y-axeln
Lutning
k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
- (x₁, y₁), (x₂, y₂)
- två punkter på linjen
Proportionalitet
y = kx
Linjen går genom origo.
Hastighet
v = s / t
- s
- sträcka
- t
- tid
Tänkarens minnen – funktioner och grafer
Läs linjen som en berättelse
m är startvärdet (där linjen börjar på y-axeln), k är förändringstakten. «Hyra cykel: 50 kr i startavgift + 20 kr per timme» är y = 20x + 50.
Lutningens tecken först
Positivt k = linjen går uppåt, negativt k = nedåt, k = 0 = vågrät. Säg riktningen högt innan du räknar – då upptäcker du teckenfel direkt.
Proportionalitet känns igen på origo
Går linjen genom (0, 0) är sambandet proportionellt och dubbla x ger dubbla y. Annars inte – en startavgift bryter proportionaliteten.
Sannolikhet och statistik
Sannolikhet är ett tal mellan 0 (omöjligt) och 1 (säkert).
Sannolikhet
P = gynnsamma utfall / möjliga utfall
Exempel: Slå en sexa: P = 1/6
Komplementhändelse
P(inte A) = 1 − P(A)
Oberoende händelser
P(A och B) = P(A) · P(B)
Exempel: Två krona i rad: ½ · ½ = ¼
Medelvärde
medel = summan av värdena / antalet värden
Median
mittersta värdet i storleksordning
Vid jämnt antal: medel av de två mittersta.
Typvärde
det vanligaste värdet
Variationsbredd
största värdet − minsta värdet
Tänkarens minnen – sannolikhet och statistik
Sannolikhet bor mellan 0 och 1
Får du ett svar över 1 eller under 0 har något gått fel. 0 = omöjligt, 1 = säkert, ½ = lika stor chans som risk.
«Minst en» – räkna baklänges
Sannolikheten för «minst en sexa på två kast» är enklast via komplementet: 1 − P(ingen sexa) = 1 − (5/6)².
Medianen struntar i extremvärden
En miljardär i rummet höjer medelvärdet kraftigt men inte medianen. Välj median när datan har udda toppar eller dalar.
Har du prov på gång?